第４章 確率変数の変換
\( X \) は，確率分布が
\begin{array}{c|ccccc|c}
X & x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n & \text{計} \\
\hline
P & p_1 & p_2 & p_3 & \cdots & p_n & 1 \\
\end{array}
である確率変数であるとし，\( a \) と \( b \) は定数であるとすると， \( aX+b \) は確率変数となる。このとき， \( aX+b \) の期待値は，
\begin{eqnarray}
E(aX+b) &=& \sum _{k=1} ^{n} (a x_k + b) p_k \\
&=& \sum _{k=1} ^{n} (a x_k p_k + b p_k) \\
&=& \sum _{k=1} ^{n} a x_k p_k + \sum _{k=1} ^{n} b p_k \\
&=& a \sum _{k=1} ^{n} x_k p_k + b \sum _{k=1} ^{n} p_k \\
&=& a E(X) + b \cdot 1 \\
&=& a E(X) + b
\end{eqnarray}
となる。分散は，
\begin{eqnarray}
V(aX+b) &=& \sum _{k=1} ^{n} \{ (a x_k + b) - (a E(X) - b) \} ^2 p_k \\
&=& \sum _{k=1} ^{n} \{ a (x_k - E(X)) \} ^2 p_k \\
&=& \sum _{k=1} ^{n} a^2 ( x_k - E(X) ) ^2 p_k \\
&=& a^2 \sum _{k=1} ^{n} ( x_k - E(X) ) ^2 p_k \\
&=& a^2 V(X)
\end{eqnarray}
となる。標準偏差は，
\begin{eqnarray}
\sigma (aX+b) &=& \sqrt{V(aX+b)} \\
&=& \sqrt{a^2 V(X)} \\
&=& |a| \sqrt{V(X)} \\
&=& |a| \sigma (X)
\end{eqnarray}
となる。まとめると，