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第３章　分散と標準偏差

（１）分散・標準偏差とは

「分散」の定義
確率変数 \( X \) の確率分布が \begin{array}{c|ccccc|c} X & x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n & \text{計} \\ \hline P & p_1 & p_2 & p_3 & \cdots & p_n & 1 \\ \end{array} であり，期待値が \( m \) のとき，確率変数 \( X \) の分散 \( V(X) \) を，
\begin{eqnarray} V(X) &=& E \left( (X - m)^2 \right) \\ &=& (x_1 - m)^2 p_1 + (x_2 - m)^2 p_2 + (x_3 - m)^2 p_3 + \cdots + (x_n - m)^2 p_n \\ &=& \sum _{k=1} ^{n} (x_k - m)^2 p_k \end{eqnarray}
と定める。
「標準偏差」の定義
分散が \( V(X) \) であるとき，標準偏差 \( \sigma (X) \) を， \[ \sigma (X) = \sqrt{V(X)} \] と定める。
（例）

「 \( 1 \) 個のさいころを \( 1 \) 回投げる」という試行を考える。「出た目の値」を確率変数 \( X \) とすると，確率分布は， \begin{array}{c|cccccc|c} X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \text{計} \\ \hline P & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & 1 \\ \end{array} となる。よって， \( X \)の期待値 \( E(X) \) は，

\begin{eqnarray} E(X) &=& 1 \cdot \dfrac{1}{6} + 2 \cdot \dfrac{1}{6} + 3 \cdot \dfrac{1}{6} + 4 \cdot \dfrac{1}{6} + 5 \cdot \dfrac{1}{6} + 6 \cdot \dfrac{1}{6} \\ &=& \dfrac{7}{2} \end{eqnarray}
となる。したがって，分散 \( V(X) \) と標準偏差 \( \sigma (X) \) はそれぞれ，
\begin{eqnarray} V(X) &=& \left(1 - \dfrac{7}{2} \right)^2 \cdot \dfrac{1}{6} + \left(2 - \dfrac{7}{2} \right)^2 \cdot \dfrac{1}{6} + \left(3 - \dfrac{7}{2} \right)^2 \cdot \dfrac{1}{6} + \left(4 - \dfrac{7}{2} \right)^2 \cdot \dfrac{1}{6} + \left(5 - \dfrac{7}{2} \right)^2 \cdot \dfrac{1}{6} + \left(6 - \dfrac{7}{2} \right)^2 \cdot \dfrac{1}{6} \\ &=& \dfrac{35}{12} \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \sigma (X) = \sqrt{\dfrac{35}{12}} \end{eqnarray} となる。

（２）分散と標準偏差は何を表しているのか

同じ期待値を持つ確率変数であっても，その分布が同じとは限らない。値が期待値の近くに集中している分布もあるし，値が期待値から遠く離れて散らばっている分布も考えられる。分散や標準偏差は，確率変数の期待値を中心として，確率変数のとる値の散らばりの度合いを表している。分散や標準偏差の値が小さいほど，確率変数のとる値は，期待値の近くに集中する傾向にある。

（３）分散の公式

分散 \( V(X) \) の定義より， \[ V(X) = \sum _{k=1} ^{n} (x_k - m)^2 p_k \] である。これを変形すると，

\begin{eqnarray} V(X) &=& \sum _{k=1} ^{n} (x_k - m)^2 p_k \\ &=& \sum _{k=1} ^{n} \left(x_k ^2 - 2m x_k + m^2 \right) p_k \\ &=& \sum _{k=1} ^{n} x_k ^2 p_k -2m \sum _{k=1} ^{n} x_k p_k + m^2 \sum _{k=1} ^{n} p_k \\ &=& E(X^2) - 2m \cdot m + m^2 \cdot 1 \\ &=& E(X^2) - m^2 \\ &=& E(X^2) - ( E(X) )^2 \end{eqnarray}
となる。
分散の公式
\( X \) の分散を \( V(X) \) とし，\( X \) の期待値を \( E(X) \) とすると，
\[ V(X) = E(X^2) - ( E(X) )^2 \]
すなわち
\[ (X \text{の分散}) = (X^2 \text{の期待値}) - (X \text{の期待値})^2 \]
が成り立つ。
（例）

「 \( 1 \) 個のさいころを \( 1 \) 回投げる」という試行を考える。「出た目の値」を確率変数 \( X \) とすると，確率分布は， \begin{array}{c|cccccc|c} X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \text{計} \\ \hline P & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & 1 \\ \end{array} となる。よって，

\begin{eqnarray} E(X) &=& 1 \cdot \dfrac{1}{6} + 2 \cdot \dfrac{1}{6} + 3 \cdot \dfrac{1}{6} + 4 \cdot \dfrac{1}{6} + 5 \cdot \dfrac{1}{6} + 6 \cdot \dfrac{1}{6} \\ &=& \dfrac{7}{2} \\ E(X^2) &=& 1^2 \cdot \dfrac{1}{6} + 2^2 \cdot \dfrac{1}{6} + 3^2 \cdot \dfrac{1}{6} + 4^2 \cdot \dfrac{1}{6} + 5^2 \cdot \dfrac{1}{6} + 6^2 \cdot \dfrac{1}{6} \\ &=& \dfrac{91}{6} \\ V(X) &=& E(X^2) - ( E(X) )^2 \\ &=& \dfrac{91}{6} - \left( \dfrac{7}{2} \right)^2 \\ &=& \dfrac{35}{12} \end{eqnarray}
となる。

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